直線のベクトル方程式

右図のように、点Aを通り、ベクトルに平行な直線l上を動く点Pがあったとして、点P位置ベクトルが満たす方程式を考えます。
PAに重なるときを除いて、 // より、実数tを用いて、と表せます(とすれば、点Pは点Aに重なります)
より、として、
 ・・・@
@式を
直線のベクトル方程式と言います。変数tが全ての実数をとるとき、点Pは@が示す直線上を全て動きます。は直線上の1点を指定するベクトルで起点ベクトルと呼ばれます。は直線の方向を定めるベクトルで方向ベクトルと言います。

@を成分表示の形で書くと、
として、(直線上の点の座標です)

x
成分,y成分ごとに分けて書くと、

これを直線の媒介変数表示と言います。また、変数t媒介変数と言います。

@の変数
tを消去することを考えてみます。と垂直なベクトルをとします。このとき、です。
@式両辺と
との内積を作ると、

・・・A
A式も、ベクトルを利用して直線を示す式です。

ベクトルの
x成分と?y成分を入れ替えて、片方にマイナスをつけると、元のベクトルと垂直なベクトルを作ることができます。
x成分とy成分を入れ替えて、aに変えると、となりますが、となるので、です。
A式を成分表示を使って書き直してみます。


ここで、とおくと、
 ・・・B
Bは、座標平面上で考えたときの直線の方程式にほかなりません。
は、直線の方程式のxyの係数を拾い出して作ったベクトルですが、より、B式が表す直線に垂直な方向を向きます。法線ベクトルと言います。

例.直線
lについて、xyの係数を抜き出して作ったベクトルが、直線lの法線ベクトルで、直線lに垂直です。直線lの方向ベクトルは法線ベクトルと垂直なベクトルです。とすると、となるので、直線lは、点を通る直線です。直線lのベクトル方程式は、

直線lの媒介変数表示は、



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